ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2007 -2008
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1,5 điểm). So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng).

và

Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình sau:

Câu 3: (1,5điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu 4: (2 điểm). Giải hệ phương trình:
2x2 + 3y = 1
3x2 - 2y = 2

Câu 5: (4 điểm). Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam. Cô giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành các tổ học tập:
Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ.
Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ.
Số người trong mỗi tổ không quá 15 người nhưng cũng không ít hơn chín người.
Em hãy tính xem cô giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ?
Câu 6: (5điểm). Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:
Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.
Tứ giác CMPO là hình bình hành.
CM.CN = 2R2
Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?
Câu 7: ( 3điểm). Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. C là điểm trên đường tròn (O, R). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào?

--Hết--

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN - LỚP 9, NĂM HỌC 2007 -2008

Câu
Nội dung – yêu cầu
Điểm

1 (1,5đ)



Giả sử
>



(BĐT đúng)

0,5

1,0

2
(3đ)


0,5


1,0



1,0


0,5

3
(1,5đ)
Ta có

Vậy GTNN của A bằng 1 khi x = 0

0,5

0,5

0,5


4
(2đ)
. Đặt u = x2
0, ta có:
2u + 3y = 1

3u - 2y = 2

Do đó:







Hệ PT có 2 nghiệm là:


0,25

0,75



0,25



0,5





0,25

5
(4đ)
* Gọi số bạn nam được chia vào tổ là x,
số bạn nam được chia vào tổ là y,
x, y nguyên dương.

Theo đề ra ta có hệ:
(1)
9
x + y
15 (2)
Từ (1) ta có: 3x – 4y = 0 =>

Đặt y = 3t, t > 0 và t
z, ta có: x = 4t
Từ (2), ta có: 9
3t + 4t
15 hay 9
7t
15
=>
< t

=>

Vì t
z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x = 8; y = 6
Như vậy, mỗi tổ có 8 bạn nam, 6 bạn nữ.
Số tổ được chia là:
tổ
0,5




0,75


0,5
0,25
0,5

0,5

0,5

0,5


6
(5đ)






 C

a)

A B



N
E P D F
* Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính OP.
* Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP.
* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP.

b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)

(hai góc đồng vị)