PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC 2

I. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG :
1. Định nghĩa: là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 ( a ? 0 )
2. Phương pháp giải :
Đặt t = x2 , điều kiện : t ? 0
Phương trình trở thành at2 + bt + c = 0
Ví dụ 1:
Giải phương trình: x4 ? 4x2 + 3 = 0
Đặt t = x2 , điều kiện : t ? 0

PT thành t2 ? 4t + 3 = 0
Với t = 1 ? x2 = 1 ? x = ? 1
Với t = 3 ? x2 = 3 ? x = ?

Vậy phương trình có 4 nghiệm : x = ? 1, x = ?
II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI :
1) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối :
Phương pháp giải :
Cách 1 : Khử giá trị tuyệt đối bằng cách sử dụng định nghĩa
Xét dấu các biểu thức trong dấu trị tuyệt đối.
Cách 2 : Đưa về các dạng có công thức
Ví dụ 1: Giải phương trình

Giải
Xét dấu hai biểu thức nằm trong trị tuyệt đối :
x2 ? 4 = 0 ? x = ? 2
x + 2 = 0 ? x = ? 2
Bảng xét dấu :
x  2 2 +
x  4 + 0 - 0 +
x + 2  0 + +
2
x < ?2 :
PT ? x2 ? 4 + 2x = ?(x + 2) + 1


? x2 + 3x ? 3 = 0 ?
?2 ? x ? 2 :
PT ? ? (x2 ? 4) + 2x = x + 2 + 1


? x2 ? x ? 1 = 0 ?
x ? 2 :
PT ? x2 ? 4 + 2x = x + 2 + 1


? x2 + x ? 7 = 0 ?
KL: Vậy phương trình có 3 nghiệm :
Ví dụ 2: Giải phương trình | 2x2 + 8x ? 15 | = 4x + 1

Nghiệm của phương trình là x = 1 , x = 2.
2) Bất phương trình chứa trị tuyệt đối :
Phương pháp :
Cách 1 : Khử giá trị tuyệt đối bằng cách sử dụng định nghĩa


Cách 2 : Đưa về các dạng
Ví dụ 4: Giải BPT x2 ? | 4x ? 5 | < 0
Giải (Ta dùng cách 1)
Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối.
4x ? 5 = 0 ? x =
Laäp baûng :
x  5/4 +
4x  5  0 +
* TH1: x <
BPT ? x2 + (4x ? 5) < 0 ? x2 + 4x ? 5 < 0 ? ?5 < x < 1
giao với x < 5/4 , ta được nghiệm trong TH này là ?5 < x < 1
* TH2: x ?
BPT ? x2 ? (4x ? 5) < 0 ? x2 ? 4x + 5 < 0 ? VN ( vì ? < 0 và a > 0 )
Vậy nghiệm của bất phương trình là: ?5 < x < 1 .
Ví dụ 5: Giải BPT | x2 ? 3x + 4 | ? x2 + 3x
Ta dùng cách 2 :
III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ :
Phương trình vô tỷ :
Phương pháp giải :

+ Cách 1 : Sử dụng cho các dạng có công thức
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Cách 3: Dùng phép biến đổi tương đương để làm mất căn.
Ví dụ : Giải các phương trình
Giải a)

a)
Ví dụ : Giải các phương trình
Giải b)

b)
ĐK : x ? ?5/2 và x ? 1 ? x ? 1


Bình phương hai vế phương trình :
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
Ví dụ : Giải các phương trình
Giải c)

c)
Đặt t =

Ta có t2 = x2 ? 4x ? 4x ? x2 = ?t2 , PT thành
3t ? t2 + 10 = 0 ? t2 ? 3t ? 10 = 0 ? t = 5, t = ? 2 (loại)
t = 5 ?
= 5 ? x2 ? 4x ? 25 = 0 ?
Vậy phương trình có hai n0 :
, t  0
2) Bất phương trình vô tỷ :
Phương pháp giải :
Cách 1 : Dùng phép biến đổi tương đương để làm mất căn.
Cách 2 : Sử dụng các dạng có công thức
Cách 3: Đặt ẩn phụ
Ví dụ : Giải các bất phương trình

a)

Giải a)

? x < ? 4 V 3 < x <
Ví dụ : Giải các bất phương trình

c)

Giải c)
Đặt t =
, t ? 0 ? t2 = x2 + x ? 2 ? x2 + x = t2 + 2
Thay vào bpt thành : 3t + t + 2 ? 12 ? 0 ? t + 3t ? 10 ? 0
2
2
 t  5 V t  2
Nhận t ? 2
t ? 2 ?
? 2 ? x2 + x ? 2 ? 4 ? x2 + x ? 6 ? 0
 x   3 V x  2